人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的不足，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美好的回忆。大家想知道怎么样才能写一篇比较优质的范文吗？下面我给大家整理了一些优秀范文，希望能够帮助到大家，我们一起来看一看吧。

不等式证明典型例题篇一

2013年数学vip讲义

【例1】 设a，b∈r，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 设a=a+d，b=b+c，a，b，c，d∈r+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较a与b的大小。

因a、b的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaa-b=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈r，求证：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第1页/共9页 金牌师资，笑傲高考

ab?1212

2013年数学vip讲义

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：?（2）a，b，c为正实数，求证：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。

（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥

2a22。

思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系?！?x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解?；辉邢铝腥滞揪叮?/p>

途径1：用均值换元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22则 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途径2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

中天教育咨询电话：0476-8705333

第2页/共9页 金牌师资，笑傲高考

途径3：三角换元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年数学vip讲义

则 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想是高中数学常用的重要方法?！纠?】 已知a>b>0，求证：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所证不等式可化为∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化为：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要证?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需证?

?2b?a?b?在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)

112.不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

中天教育咨询电话：0476-8705333

第3页/共9页 金牌师资，笑傲高考

∵ 32?22013年数学vip讲义

∴ g(b)>f(a)注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。

【例9】 已知a，b，c∈r，f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。

这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。

从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。

当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。

思路二：直接利用绝对值不等式

为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论

① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。

评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第4页/共9页 金牌师资，笑傲高考

2013年数学vip讲义

1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是 a、c、1a12?1b1a≤?141b b、≤1 d、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是 a、ac≥b b、ab≥c c、bc≥a d、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设m=

a4?a?bb?cc4?c，n=，则mn的大小关系是

a、m>n b、m=n c、m

6、已知函数f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈r，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 a、一定大于零 b、一定小于零 c、一定等于零 d、正负都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，则

a、x≥y>z b、x≥z>y c、y≥x>z d、y>z≥x

8、设a，b∈r，下面的不等式成立的是 a、a+3ab>b b、ab-a>b+ab c、（二）填空题

9、设a>0，b>0，a≠b，则aabb与abba的大小关系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。

12、当00且t≠1时，logat与log21t?1a2

2ab?a?1b?1 d、a+b≥2(a-b-1)

22的大小关系是__________。

n13、若a，b，c为rt△abc的三边，其中c为斜边，则an+bn与c（其中n∈n，n>2）的大小关系是________________。

（三）解答题

14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：a?

15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1?

中天教育咨询电话：0476-8705333

第5页/共9页

ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌师资，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求证：

18、若a，b，c为正数，求证：

19、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年数学vip讲义

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

中天教育咨询电话：0476-8705333

第6页/共9页

不等式证明练习题

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是，值域是，函数y=arccosx的定义域是，值域是，函数y=arctgx的定义域是r，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是r，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是，值域是，函数y=arccosx的定义域是，值域是，函数y=arctgx的定义域是r，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是r，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

11n??恒成立，则n的最大值是（）a?bb?ca?c

a．2b．3c．4d．6 1．设a?b?c,n?n，且

x2?2x?22． 若x?(??,1)，则函数y?有（）2x?

2a．最小值1b．最大值1c．最大值?1d．最小值?

13．设p?

q?

r?p,q,r的大小顺序是（）

a．p?q?rb．p?r?qc．q?p?rd．q?r?p

4．设不等的两个正数a,b满足a?b?a?b，则a?b的取值范围是（）

a．(1,??)b．(1,)c．[1,]d．(0,1)

?5．设a,b,c?r，且a?b?c?1，若m?(?1)(?1)(?1)，则必有（）332243431

a1b1c

a．0?m?11b．?m?1c．1?m?8d．m?8 88

6．若a,b?

r?，且a?b,m?

n?m与n的大小关系是a．m?nb．m?nc．m?nd．m?n

1．若logxy??2，则x?y的最小值是（）

33223a．b．c．22

3?2．a,b,c?r，设s?3d．232 abcd???，a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

则下列判断中正确的是（）

a．0?s?1b．1?s?2c．2?s?3d．3?s?

43．若x?1，则函数y?x?116x?的最小值为（）xx2?1

a．16b．8c．4d．非上述情况

4．设b?a?0，且p?a?b，m? n?，r?q?112?ab2

则它们的大小关系是（）

a．p?q?m?n?rb．q?p?m?n?r

c．p?m?n?q?rd．p?q?m?r?n

二、填空题

1．函数y?3x(x?0)的值域是.2x?x?

12．若a,b,c?r?，且a?b?c?1，则a??的最大值是

3．已知?1?a,b,c?1，比较ab?bc?ca与?1的大小关系为4．若a?

0，则a?1a5．若x,y,z是正数，且满足xyz(x?y?z)?1，则(x?y)(y?z)的最小值为______。

1．设x?0，则函数y?3?3x?1的最大值是__________。x

2．比较大小：log34______log67

3．若实数x,y,z满足x?2y?3z?a(a为常数)，则x2?y2?z2的最小值为

4．若a,b,c,d是正数，且满足a?b?c?d?4，用m表示

a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，则m的最小值为__________。

5．若x?1,y?1,z?1,xyz?10，且xlgx?ylgy?zlgz?10，则x?y?z?_____。

1．若a?b?0，则a?1的最小值是_____________。b(a?b)

abb?ma?n, , , 按由小到大的顺序排列为baa?mb?n2．若a?b?0,m?0,n?0，则

223．已知x,y?0，且x?y?1，则x?y的最大值等于_____________。

1111??????，则a与1的大小关系是_____________。210210?1210?2211?1

125．函数f(x)?3x?2(x?0)的最小值为_____________。x4．设a?

三、解答题

1．已知a?b?c?1，求证：a?b?c?

2221 3

．解不等式x?7?3x?4??0

3．求证：a?b?ab?a?b?1

．证明：1)?1

1．如果关于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集，求参数a的取值范围。

22?...??a?b?c2

?3

3．当n?3,n?n时，求证：2n?2(n?1)

4．已知实数a,b,c满足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1，求证：1?a?b?

1． 设a,b,c?r?，且a?b?c，求证：a?b?c

2．已知a?b?c?d，求证：

?3．已知a,b,c?r，比较a?b?c与ab?bc?ca的大小。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d

．求函数y?

5．已知x,y,z?r，且x?y?z?8,x?y?z?24

求证：

222444?x?3,?y?3,?z?3 333

不等式证明典型例题篇四

不等式证明

1.比较法：

比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为作差法、作商法

（1）作差比较：

①理论依据a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）作商法：①要证a>b(b>0),只要证

;要证a

0)，只要证

2.综合法：所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，可简称为由因导果。常见的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思想是“执果索因”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。

基本步骤：要证??只需证??，只需证?? 4 分析综合法

单纯地应用分析法证题并不多见，常常是在分析的过程中，又综合条件、定理、常识等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法。反证法：先假设所要证明的不等式不成立，即要证的不等式的反面成立，如要证明不等式m

n，由题设及其他性质，推出矛盾，从而否定假设，肯定m

具体放缩方式有公式放缩和利用某些函数的单调性放缩。常用的技巧有：舍去一些正项或负项；在和或积中换大（或换?。┠承┫?；扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等，放缩时要注意不等号的一致性。放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵将分子或分母放大（或缩?。抢没静坏仁剑纾簂g3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用结论： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；

ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅲ、12?k11111??(?)；（程度?。?k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知x2?y2?a2，可设x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可设

x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?；

ab8、判别式法：判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。

9、其它方法 最值法：恒成立

恒成立

构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

§14不等式的证明

不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：

（1）a?b?b?a（对称性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?n*).对两个以上不等式进行运算的性质.（1）a?b,b?c?a?c（传递性）.这是放缩法的依据.（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含绝对值不等式的性质：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad? 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，?？伞坝梢虻脊被颉爸垂饕颉?前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.例题讲解 1．a,b,c?0,求证：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a,b,c?0，求证：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?r,求证a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．设a1,a2,?,an?n*，且各不相同，求证：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式证明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求证：a?b?1.8

7．利用排序不等式证明gn?an

8．证明：对于任意正整数r，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n为正整数，证明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 课后练习

1.选择题

(1)方程x-y=105的正整数解有().（a）一组（b）二组

（c）三组

（d）四组

(2)在0,1,2,?，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（a）3个（b）4个

（c）5个

（d）6个 2．填空题

（1）的个位数分别为_________及_________.4

5422(2)满足不________.等式10?a?10的整数a的个数是x×10+1，则x的值(3)已知整数y被7除余数为5,那么y被7除时余数为________.(4)求出任何一组满足方程x-51y=1的自然数解x和y_________.3.求三个正整数x、y、z满足

23.4．在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？

5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.课后练习答案

1.d.c.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可变形为x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨设x?y?z,则,故x?3.又有故x?2.若x=2,则,故y?6.又有,故y?4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3?y?4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.5.分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式两边同时加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如证(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)时，可连续使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各种变式

如(等.但其本质特征不等式两边的次22数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|n.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.简解:原方程变形为3x-(3y+7)x+3y-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△?0及y为整数可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方数.222

229.易知p≠q,不妨设p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,则m＞n由此可得不定方程

例题答案：

1.证明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明a2?b2?c2?ab?bc?ca时，可将a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方为[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于a,b,c对称，不妨a?b?c,则a?b,b?c,a?c?r?，且

ab,，c(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若ai?0(i?1,2,?,n),则a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本题还可用其他方法得证。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得证.（4）设a?b?c?0,则lga?lgb?lgc.例3等价于alga?blgb?algb?blga,类似例4可证alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事实上，一般地有排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组a1?a2???an,b1?b2???bn，则a1b1?a2b2???anbn（顺序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（乱序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.当且仅当a1?a2???an或b1?b2???bn时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如a,b,c?r?时,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.111111??，则a2??b2??c2?（乱序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（乱序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数abc111333??组a?b?c及，

222不妨设a?b?c,则a?b?c,4.分析：不等式右边各项

ai1?a?；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.i22ii设b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，满足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整数，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.从而b1?2，原式得证.?????1????2222n23n所以a1?评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式两边同时加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如证(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)时，可连续使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各种变式

如(等.但其本质特征不等式两边的次数及22系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6.思路分析：不等式左边是a、b的4次式，右边为常数式呢.44要证a?b?1，如何也转化为a、b的4次811,即证a4?b4?(a?b)4.8833评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求证：x1 ?x211133求证：x1x2?x2x3 ?x3?.右侧的可理解为(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此处可以把0理解为(x1?x2?x3)，当然本题另有简使证法.38（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n个正数a1,a2,?an)

调和平均hn?n111????a1a2an 几何平均gn?na1?a2?an 算术平均an?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均qn?

2这四个平均值有以下关系：hn?gn?an?qn，其中等号当且仅当a1?a2???an时成立.7.证明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)则b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（乱序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?n111，?,各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，gn?an.a1a2an 评述:对8.分析:原不等式等价于n?1(1?)?1?平均，而右边为其算术平均.n?11nn1，故可设法使其左边转化为n个数的几何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n个n?1 评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.9.证明:先证左边不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左边不等式成立.其次证右边不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.