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定积分不等式证明题 积分不等式证明题篇一

我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证

.分析

这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数数图象可知，在区间

并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函

上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1 即，因为，所以.所以

.例2 求证

.证明 构造函数

而函数在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

2即，所以.例3 证明。

证明 构造函数可知，在区间 上，因，又其函数是凹函数，由图

3个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3

即

.所以

.二、型

例4 若，求证:.证明 不等式链的左边是通项为前项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图4

例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为

（ⅰ）用表示出 ；

.的图象在点（ⅱ）若 在内恒成立，求的取值范围；

（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（ⅲ）不等式数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的时，此式适合，故只要证当 时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即

.图

5而，所以，故原不等式成立.点评 本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，

定积分不等式证明题 积分不等式证明题篇二

定积分在数列和式不等式证明中的应用

湖北省宜昌市第二中学曹超

邮编：443000电子邮箱：c220032003@

数列和式不等式?ai?a(或?ai?a)的证明通常要用到放缩法，由于放缩法技巧性强，且无固定模式，i?

1i?1

n

n

在实际解题过程中同学们往往难以掌握。学习了定积分的相关知识后，我们可以利用定积分的定义及几何意义证明此类不等式，下面笔者仅就两例对这种方法加以介绍。

例1

证明：1)?1?

第2题）

证明：

构造函数f(x)?

1?

1????

1（n?n?）（高中人教（a）版选修4-5p29?，作出函数图象，图（1）中n-1个矩形的面积

和

1????

应为直线x?1，x?n，x轴和曲

线

f(x)?

所围成曲边梯形面积的不足近似值，故

?????

?

?

n

x

?

2dx=2x

2n

=2，所以

图（1）

1?

?

????

?1?。

图（2）中n

个矩形的面积和1?

??????

应为直线

x?1，x?n?1，x轴和曲

线f(x)?所围成的曲边梯形

面积的过剩近似值，故1?

?

?????

?

n?1

x

?

dx=

图（2）

2x2

n1

=2，不等式得证。

评析：

教材对本题证明给出了提示：?

?

?

?

?

①，实际解题过程中，由于不等式①技巧性强，思维量大，学生如不参考提示很难得到。事实

上，如图（3）所示，根据定积分的定义及几何意义，在区间?n,n?1?(n?n?)上的曲边梯形的面积大于以区间的右端点n?1对应的函数值f(n?1)为一边的长，以1

为邻边的长的矩形的面积，小于以区间的左端点n对

图（3）

应的函数值f(n)为一边的长，以1为邻边的长的矩形的面积，即

?

?

n?1n

x

?

dx?2x2

n?1n

?

?

代数变形技巧得到，更非“空穴来风”，而是有着明确几何意义的代数表示，数形结合思想在这里得以充分地体现。

例 2对于任意正整数n，试证：（1）当n?n时，求证：ln(n?1)?lnn?

（2）

1n?1

?

1n?2

?????

1n?n

?ln

3?

1n+1

分析：此题的设计意图是利用第（1）问的结论证明第（2）问。但如果没有第一问作铺垫，第（2）问的证明很难用代数方法得到，如果利用例1所述方法，那么证明变得非常简洁。

证明：（1）证明略。

（2）构造函数f(x)?

1x

(x?0)，作出函数图象，根据y?f(x)

在区间?n,2n?上定积分定义及其几何意义，图（4）中n个矩形的面积和小于由直线x?n，x?2n，x轴和曲线f(x)?围

1x

所，即

成?

?n的12?

曲

边梯形的面积

n?1

21n1

l???n2nx??x

n??(n?2l

7n?)n，l不等式nln

得证。

图（4）

新课标新增的微积分知识有着丰富的数学背景及内涵，所蕴含的数学思想方法为我们问题的解决提供了新的视角，所以我们在平常学习过程中应予以足够的重视。最后提供两道练习题供同学们参考。

1、2、求证：()?()?????（n

n

n

n

n?1

nnn)?()?2nn

1n?

1n?1

?

（n?n）

????

1n

?

证明：对于大于1的正整数n，n?2

?1

定积分不等式证明题 积分不等式证明题篇三

关于“和式”的数列不等式证明方法

方法：先求和，再放缩

例

1、设数列?an?满足a1?0且an

?n,2an?1?1?an?1?an，n

?n*，记sn??bk,证明：sn?1.k?1n

（ⅰ）求?an?的通项公式；（ⅱ）设bn?

【解析】：（ⅰ）由

?1?1

1??1.得??为等差数列，1?a1?an?11?ann??

前项为

1111

?1,d?1,于是?1?(n?1)?1?n，?1?an?,an

?1?

1?a11?annn

（ⅱ）bn?

n

?

?

?

?

sn??bk?k

?1

?????1??1 练习：数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为sn，数列{bn}为等比数列，且

a1?3,b1?1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2s2?64.（1）求an,bn；（2）求证

1113?????.s1s2sn

4解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an?3?(n?1)d，bn?qn?1

?ban?1q3?ndd6

??q?64?2?

q3?(n?1)d依题意有?ban①

?

s2b2?(6?d)q?64?

由(6?d)q?64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d?2,q?8

故an?3?2(n?1)?2n?1,bn?8

n?1

（2）sn?3?5???(2n?1)?n(n?2)∴

1111111

??????????

s1s2sn1?32?43?5n(n?2)

11111111?(1?????????)232435nn?211113?(1???)? 22n?1n?24

方法：先放缩，再求和 例

1、（放缩之后裂项求和）（辽宁卷21）．

在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an?1成等差数列，bn，an?1，bn?1成等比数列（n?n）

（ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（ⅱ）证明：

*

5??…??． a1?b1a2?b2an?bn1

2本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分． 解：（ⅰ）由条件得2bn?an?an?1，an?1?bnbn?1 由此可得

a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． ···················································· 2分

猜测an?n(n?1)，bn?(n?1)． ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即

ak?k(k?1)，bk?(k?1)2，那么当n=k+1时，2ak

ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1??2?(k?2)2．

bk

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)对一切正整数都成立． ·········································· 7分（ⅱ）

5??．

a1?b161

2n≥2时，由（ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n． ·············································· 9分 故

11111?111?

??…??????…?? a1?b1a2?b2an?bn62?2?33?4n(n?1)?

?

11?111111???????…??? 62?2334nn?1?11?11?115??????? 62?2n?1?6412

?

综上，原不等式成立．··································································································· 12分（例

2、（放缩之后等比求和）

（06福建）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?n).*

（ⅰ）求数列?an?的通项公式；（ⅱ）证明：

an1a1a2n

????...?n?(n?n*)23a2a3an?1

22n

（iii）.设bn?an(an?1)，数列?bn?的前n项和为sn，令tn?，sn

（i）求证：t1?t2?t3??tn?n；

（ii）求证：t1?t2?t3??tn?；

本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（i）解：?an?1?2an?1(n?n),*

?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。?an?1?2n.即 an?2?1(n?n).*

（ii）证法一：?41

4k?1k2?

1...4kn?1?(an?1)kn.?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?n*),??bn?是等差数列。

证法二：同证法一，得(n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2.设b2?2?d(d?r),下面用数学归纳法证明 bn?2?(n?1)d.（1）当n?1,2时，等式成立。

（2）假设当n?k(k?2)时，bk?2?(k?1)d,那么

k2k2bk??[2?(k?1)d]??2?[(k?1)?1]d.k?1k?1k?1k?1这就是说，当n?k?1时，等式也成立。bk?1?

根据（1）和（2），可知bn?2?(n?1)d对任何n?n都成立。

*

?bn?1?bn?d,??bn?是等差数列。

ak2k?12k?11

?k?1??,k?1,2,...,n,（iii）证明：?

ak?12?12(2k?1)

2?

aa1a2n

??...?n?.a2a3an?12

ak2k?11111111??k?1??????.,k?1,2,...,n, ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?

aa1a2n1111n11n1

??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan

???1?2?...?n?(n?n*).23a2a3an?12

方法：先放缩，再化类等差等比

例1（有界性放缩，迭加）、各项为正数的等比数列?an?中，a1?a3?10，a3?a5?40,n?n*；

（1）求数列?an?的通项公式；（2）设b1?1，bn?1nn?

1?1?，求证：bn?1?bn?3?n?1 bnan

2an?2；分析；（1）（2）证明：因为an?1?(1?

所以an?0，n

n

所以an?1与an同号，又因为a1?1?0，)an，2n

n

an?0，即an?1?an．所以数列{an}为递增数列，所以an?a1?1，n2nn12n?1

即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．

22222

12n?1112n?1

令sn??2???n?1，所以sn?2?3???n，两式相减得：

2222222

11111n?1n?1n?1sn??2?3???n?1?n，所以sn?2?n?1，所以an?3?n?1，22222222

n?1

故得an?1?an?3?n?1．

即an?1?an?

例2（利用有界性化为类等比）、（安徽卷21）．（本小题满分13分）

设数列?an?满足a0?0,an?1?can?1?c,c?n,其中c为实数

*

（ⅰ）证明：an?[0,1]对任意n?n成立的充分必要条件是c?[0,1]；

*

1n?1*，证明：an?1?(3c),n?n;312222

（ⅲ）设0?c?，证明：a1?a2??an?n?1?,n?n*

31?3c

（ⅱ）设0?c?

解(1)必要性 ：∵a1?0,∴a2?1?c，又 ∵a2?[0,1],∴0?1?c?1，即c?[0,1]

充分性 ：设 c?[0,1]，对n?n用数学归纳法证明an?[0,1]当n?1时，a1?0?[0,1].假设ak?[0,1](k?1)

则ak?1?cak?1?c?c?1?c?1，且ak?1?cak?1?c?1?c??0

*

∴ak?1?[0,1]，由数学归纳法知an?[0,1]对所有n?n*成立

(2)设 0?c?，当n?1时，a1?0，结论成立 3

当n?2 时，∵an?can?1?1?c,∴1?an?c(1?an?1)(1?an?1?an?1)∵0?c?

12,由（1）知an?1?[0,1]，所以 1?an?1?an?1?3 且 1?an?1?03

∴1?an?3c(1?an?1)

∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)∴an?1?(3c)

(3)设 0?c?

n?1

n?1

(1?a1)?(3c)n?1

(n?n*)

122，当n?1时，a1?0?2?，结论成立 31?3c

n?1

当n?2时，由（2）知an?1?(3c)

?0

∴an?(1?(3c)n?1)2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1 22222n?1∴a2]1?a2???an?a2???an?n?1?2[3c?(3c)???(3c)

2(1?(3c)n)2

?n?1??n?1?

1?3c1?3c

定积分不等式证明题 积分不等式证明题篇四

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

1即，因为，所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，图

2即，所以

.例3证明。

证明构造函数知，在区间

上，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

3即

.所以

.二、型

例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为的图象在点

.（ⅰ）用表示出（ⅱ）若；

在内恒成立，求的取值范围；

（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的数时，此式适合，故只要证当

时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

.图5

而

故原不等式成立.，所以，

定积分不等式证明题 积分不等式证明题篇五

利用定积分证明数列和型不等式

我们把形如(为常数或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数型，求证例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题已知正整数

.分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明 构造函数知，在区间 并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图1

即，因为，所以.所以.例2 求证

.证明 构造函数而函数在和小于曲边梯形的面积，又，上的个矩形的面积之

上是凹函数，由图象知，在区间

图

2即，所以

.例

3证明。

证明

构造函数区间 上，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3 即

.所以

.二、型

例4 若，求证:.证明 不等式链的左边是通项为项之和，中间的通项不等式的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的前时这三个数列的可当作是某数列的前

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数处的切线方程为（ⅰ）用表示出（ⅱ）若； 在内恒成立，求的取值范围；.的图象在点（ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明

（ⅲ）不等式项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，此式适合即，左边是通项为，则当，故只要证当的数列的前时，时，也就是要证

由此构造函数积，即，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

.图5

而立.，所以，故原不等式成