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导数教学设计意图篇一

一、课题引入

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y?f(x)，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二：

1.利用定义求出函数①y?c的导数

2.若y?c表示速度关于时间的函数，则y??0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y?f(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授

1．函数y?f(x)?c的导数 知识点

根据导数定义，因为?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函数y?c图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y?c表示路程关于时间的函数，则y??0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数y?f(x)?x的导数

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因为?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函数y?x图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y?x表示路程关于时间的函数，则y??1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y?2x,y?3x,y?4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么?（2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？（3）函数y?kx?k?0?增（减）的快慢与什么有关？

3．函数y?f(x)?x2的导数

?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因为 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x

?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x

?x?0?x?x?0y??2x表示函数y?x2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x?0时，随着x的增加，函数y?x2减少得越来越慢；当x?0时，随着x的增加，函数y?x2增加得越来越快．若y?x表示路程关于时间的函数，则y??2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数y?f(x)?21的导数 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因为 ???x?x?x?x?(x??x)1??2

x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx1练习作出函数y?的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以y??lim线方程

5．函数y?f?x??x的导数

x??x?x

?x因为?yf(x??x)?f?x????x?x

=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??

=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推广：若f?x??x?n?q?，则f?(x)?nx

练习求下列函数的导数

（1）y?x3（2）y?1 x2（3）y?三．例题讲解 3x（4）y?x2x

3例1．曲线y?x上哪一点的切线与直线y?3x?1平行？

解：设点p(x0,y0)为所求，则 它的切线斜率为k?3，∵f?(x)?3x，∴3x0?3，x0??1，∴p(1,1)或p(?1,?1)．

例2．证明：曲线xy?1上的任何一点p(x0,y0)(x0?0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由xy?1，得y?∴y??()???221，x1x1，x2

∴k?f?(x0)??1，2x0过点p(x0,y0)的切线方程为

y?y0??1(x?x0)，2x02，x0令x?0得y?令y?0得x?2x0，∴过p(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

s?12??2x0?2是一个常数． 2x0四．课时小结

c??0，xn

五、作业 ????nx?n?q? n?

1六、板书设计

七、教学反思

导数教学设计意图篇二

一、《利用导数探究函数零点个数问题》教学设计

激趣入境：

问题：试说出函数f?x??x2?2x?3的零点

设计意图：引出零点的概念，并由简单问题使学生回忆函数零点、方程根、函数图像交点之间的联系，为基本概念、思想转化做知识性的必要铺垫。

本环节由学生集体作答，问题简单，都能给出答案 函数零点的等价转化：

1、函数y?f?x?的零点?方程f?x??0的根?函数y?f?x?的图象与x轴 （即y?0）交点的横坐标。

2、推广：函数h?x??f?x??g?x?的零点

?方程_________________即_________________的根；

?函数_________________和_________________的图象的________________ 例如：

函数h?x??x?lnx的零点

?方程_________________即_________________的根；

?函数_________________和_________________的图象的________________

设计意图：由问题的表面认识升华为理论层面，先给基本的转化思想，然后再推广到一般情况，为使学生灵活应用和转化打好基础。例题的给出使学生对刚刚理解的转化有立竿见影的认识，并起到夯基释义的作用。

此环节由教师提问，学生单独作答，在推广时学生遇到了一些问题，由其他学生补充回答，直到答案完整。

二、导引体验、合作探究：

例

1、已知函数f?x??x?3x?1，求f?x?的极值并画出函数的草图 3设计意图：由学生在课前完成，即能复习前几节的知识重点，同时为引出本节课的课题做好知识上的准备

此题学生在课前完成，在此环节由某学生提前写黑板上，由教师和学生共同核对、检查，强调书写格式和画图注意的问题

问题

1、根据图象说出图象与x轴有几个交点？与y?1，y??3，y?2，y??4呢？ __________________________________________________________________

问题

2、若函数图象与y?m有三个不同交点，则m的范围是什么？有两个交点和一个交点呢？

__________________________________________________________________ 问题

3、若方程f?x??m?0有三个不等实根，则m的范围是什么？若是有三个零点呢？ g?x??f??x?m___________________________________________________________________ 设计意图：此环节是本节课的重点，在例一的基础上并结合几何画板，问题一让学生对照图像观察定直线和定图像的交点个数情况，数形结合，显而易见，学生很容易接受，问题2要求学生逆向思维去考虑动直线和定图象的交点个数问题，几何画板动态展示动直线的运动过程，从而直观观察出图象与动直线的交点个数以及相关的要素即与极大值和极小值有关，问题迎刃而解，问题3回归本节课的课题，使学生们清楚研究函数图象的交点问题实际上等价于研究函数的零点问题和方程根的问题。

此环节由教师提问，在教师用几何画板投影图象的过程中，由学生看图完成作答，此处是本节课难点也是重点，但经过设计学生基本能接受并回答出。达标训练

1、32已知函数f?x??x?3x?1，若直线y?m与y?f(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围。

设计意图：检测学生对基本思想的落实情况，夯实基础，并为后边的变式及拓展延伸做好准备。

本环节由学生自己完成，并找学生上黑板板书，在学生完成的过程中与学生交流，了解学生的完成情况与存在的问题，适当提示和指导

32变式

1、已知函数f?x??x?3x?x?1，若直线y?x?m与曲线y?f?x?的图象有三个不同交点，求实数m的取值范围。

32变式

2、已知函数f?x??x?3x?x?1，若直线y?x?m与曲线y?f?x?的图象在?1??,3?上有三个不同交点，求实数m的取值范围。 ??2?设计意图：层层递进，逐步加深，变式1是为强化三种问题的转化思想，引导学生从正确的思考方向出发，先由函数图像交点转化为方程根的问题，再转化为函数图像和平行于x轴的动直线的交点问题，在此归纳出解决此类问题的步骤即：转化、求导找极值、画图、看图取范围，变式2在变式一的基础上限定定义域，为学生指出问题的解决不仅和极值有关还和端点值有关

本环节采用提问式，因为是对例1的变形，所以转化之后与例一一致，对变式2采取数形结合的方法依然借助几何画板来挖掘本题所注意的问题 达标训练

2、已知函数f?x???

1312x?x?2x，若关于x的方程 322

?1?f?x??x3?2x2?x?m?0在区间?,2?上恰有两不等实根，求实数m的范围。

?2?设计意图：举一反三，夯基落实，强化对变式的理解和解决方法 由学生自己完成，教师给予适当引导

三、

已知函数f?x???x2?8x与函数g?x??6lnx?m的图象有三个不同的交点，求m的范围。

设计意图：在函数形式上改变，引进对数函数，既是对本节课的

总结

为学生点出需要注意的问题，让学生课后自己完成四、小结归纳、（1）数形结合的思想

（2）函数零点个数问题或方程根的个数问题最终转化为平行与x轴的直线与函数图象的交点个数问题。

设计意图：总结本节课的知识重点，理清知识脉络，使学生在整体对本节课有全面的认识。

五、作业

学案：

导数教学设计意图篇三

《导数的概念》教学设计

1.教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．

（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2.教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1.教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2.教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（newton）和德国数学家莱布尼兹（leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

cbcbaa

图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射

二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中ab弧与ac构成的角）和弓形角（图4中ab与acb弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：s(t)?v0t?刻（t0?[0,t]）的瞬时速度。

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

12at，t?[0,t]，求：物体在t0时2v?若t?t0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2已知：曲线y?f(x)上点m(x0,y0)，求：m点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线c及曲线c上的一点m，如图，在m外c上另外取一点n，作割线mn，当n沿着c趋近点m时，如果割线mn绕点m旋转而趋于极限位置mt，直线mt就称为曲线c在点m处的切线。

问题解决：取在c上m附近一点n(x,y)，于是割线pq的斜率为

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?为割线mn的倾角）?x?x0x?x0当x?x0时，若上式极限存在，则极限

k?tan??为点m处的切线的斜率。

导数的定义

定义

设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limx?x0f(x)?fx(0)（?为割线mt的倾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，则称函数

x?x0

f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f(x0)。

即 f(x0)?（2）

也可记作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxx?xof在x0处可导的等价定义：

设x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0则等价于?x?0，如果 函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

f(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f(x0)?lim?x?0?xx?x0?f(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数y?f(x)在点x0的某右邻域(x0,x0??)上有定义，若右极限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f?(x0)。

?左导数

f?(x0)?yli?m。?x?0?x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x0)存在?f?(x0)，f?(x0)都存在，且f?(x0)=f?(x0)。

（三）知识巩固

2例题1 求f(x)?x在点x?1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解：由定义可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题

例题2设函数f(x)为偶函数，f?(0)存在，证明：f?(0)?0。

证

f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的灵活运用，它可以变化成其他的形式。

x?x0例3 证明函数f(x)?|x|在x?0处不可导。

证明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)极限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0处不可导。

附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。

（四）应用提高 求曲线y?x在点（－1，－1）处的切线方程为(a)x?2a.y=2x＋1 b.y=2x－1 c.y=－2x－3 d.y=－2x－2

（五）小结

本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。

本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。

（六）作业布置

1．已知f(1)?2012，计算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.计算函数f(x)??2x?3在点（1，1）处切线的方程。2